Аналітична геометрія на площині

Рефераты, курсовые, дипломные, контрольные (предпросмотр)

Тип: Реферат. Файл: Word (.doc) в архиве zip. Язык: Украинский. Категория: Математика
Адрес этого реферата http://referat.repetitor.ua/?essayId=9494 или
Загрузить
В режиме предпросмотра не отображаются таблицы, графики и иллюстрации. Для получения полной версии нажмите кнопку «Загрузить». Рефераты, контрольные, дипломные, курсовые работы предоставляются в ознакомительных целях, не для плагиата.

Пряма лінія на площині найчастіше задається у вигляді рівняння

(2.3)

де k=tg нахил цієї прямої до осі OX (рис 2.3,а).

Часткові випадки розташування прямої (y=kx, x=a, y=b) показані, відповідно, на рис.2.3б-г.

Рис.2.3

Загальне рівняння прямої на площині має вигляд

(2.2)

Якщо B 0 , то рівняння (2.2) можна перетворити у (2.1).

Приклади. Побудувати графіки прямих y=1-x та 2x-y+2=0. У першому прикладі k=tg = -1, отже =1350 (рис. 2.4,а). В другому прикладі маємо y=2x+2 , отже, k=tg =2 (рис. 2.4,б).

Рис. 2.4

Наведемо ще деякі з рівнянь, які задають пряму на площині.

Пряма, яка проходить через дві задані точки (x1;y1) та (x2;y2):

, (2.3)

або, що те саме,

. (2.3 )

Пряма, яка проходить через задану точку (x1;y1) паралельно до заданої прямої y=ax+b :

y-y1=a(x-x1) (2.4)

Пряма, яка проходить через задану точку (x1;y1) перпендикулярно до заданої прямої y=ax+b :

(2.5)

Рівняння прямої у відрізках

(2.6)

Переходи від одного вигляду рівняння прямої до іншого виконують за допомогою нескладних перетворень.

Приклад. Загальне рівняння прямої має вигляд

Перейдемо до рівняння прямої у відрізках:

.

Перейдемо до рівняння з кутовим коефіцієнтом:

Візьмемо на нашій прямій дві точки, наприклад, (x1;y1)=(-1;0) та (x2;y2)=(0;2),і побудуємо рівняння прямої, яка проходить через ці дві точки:

.

Наведемо ще декілька формул щодо прямих на площині.

Кут між прямими

обчислюється за формулою

Прямі y=a1x+b1 та y=a2x+b2 отже, є паралельними, якщо a1=a2, та перпендикулярними, якщо a1 a2 = -1.

Точка перетину прямих є розв'язком системи рівнянь

.

Відстань від точки M(x1;y1) до прямої Ax+By+C=0 визначають за формулою

.

Приклад. Попит Q (кількість товару, що буде куплено) на товар залежно від його ціни p на ринку задається формулою p=p(Q)=500-10Q. Пропозицію Q (кількість товару, що потрапить на ринок) залежно від ціни задає формула p=p(Q)=50+5Q.

Зобразити графічно криві попиту та пропозиції і визначити ціну рівноваги.

Маємо такий графік (рис.2.5).

Рис. 2.5.

Ціну рівноваги p* (а також рівноважний випуск Q*) визначаємо як точку перетину прямих попиту та пропозиції, тобто розв'язуємо систему лінійних рівнянь

.

Помноживши друге рівняння на 2 і додавши до першого, отримаємо p*=200 та Q*=30 .

Приклад. Нехай ринкова ціна за одиницю деякого виробу становить p=10. Витрати, пов'язані з випуском кожної одиниці цього виробу в деякій фірмі, Vc=5 (змінні витрати). Постійні витрати фірми становлять Fc=40. Визначити обсяг виробництва Q, за якого фірма матиме прибуток.

Загальні витрати фірми на виготовлення Q одиниць продукції описуються залежністю

Доход фірми від виготовлення і реалізації Q одиниць продукції становить

Визначимо такий випуск Q*, за якого доход фірми збігається з її витратами:

Отже, прибуток (різниця між доходом і витратами) в цій моделі починається при Q*8 і далі необмежено зростає (рис. 2.6).

Рис. 2.6.

Розглянемо також основні криві другого порядку та їхні рівняння. Це такі криві, рівняння яких містять змінні x2 і/або y2.

Рівняння кола з центром у точці (a;b) та радіусом r має вигляд

У частковому випадку (коло одиничного радіуса з центром у початку координат) це рівняння спрощується:

Рівняння еліпса (геометричного місця точок, сума відстаней до яких від двох заданих точок є сталою) записується так (рис. 2.7):

Рис. 2.7.

Точки F1(-c;0) та F2(c;0) називаються при цьому фокусами.

Виконуються такі властивості:

- для довільної точки A на еліпсі ;

- c2=a2-b2.

Рівняння гіперболи (геометричного місця точок (x;y), для яких різниця відстаней до фокусів F1 та F2 є сталою) має вигляд (рис. 2.8):

Для гіперболи виконуються такі властивості:

- для довільної точки A на гіперболі ;

Рис. 2.8.

Рівняння параболи (геометричного місця точок, однаково віддалених від заданої точки і заданої прямої ) є таким (рис. 2.9):

Рис. 2.9.

Тут для довільної точки A(x;y) параболи y = 2px виконується рівність , де відстань від точки A до прямої .






При любом использовании материалов сайта обязательна гиперссылка на сайт «Репетитор».
Разработка и Дизайн компании Awelan
bigmir)net TOP 100 Rambler's Top100