Визначення та обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартових та полярних координатах. Площа поверхні

Рефераты, курсовые, дипломные, контрольные (предпросмотр)

Тип: Исследование. Файл: Word (.doc) в архиве zip. Язык: Украинский. Категория: Математика
Адрес этого реферата http://referat.repetitor.ua/?essayId=9702 или
Загрузить
В режиме предпросмотра не отображаются таблицы, графики и иллюстрации. Для получения полной версии нажмите кнопку «Загрузить». Рефераты, контрольные, дипломные, курсовые работы предоставляются в ознакомительных целях, не для плагиата.

Довжина дуги

Це питання для кривої , заданої рівнянням , вже розглядалося в п.9.1. Там була знайдена формула

Якщо крива задана параметрично, тобто у вигляді то

Для просторової кривої, заданої параметрично , довжина дуги обчислюється за формулою

аналогічно формулі (10.10). Виведення цієї формули базується на розгляді елемента дуги, кінці якої збігаються з кінцями діагоналі паралелепіпеда, а саме, діагональ є хордою елемента дуги.

У випадку задання кривої в полярній системі координат , матимемо

Пропонується вивести цю формулу, узявши до уваги, що рівняння кривої в полярних координатах можна записати як параметричні з параметром q :

і використавши формулу

Приклад 1. Обчислити довжину кривої, заданої рівнянням .

Р о з в ' я з о к. Досить обчислити довжину дуги, що обмежує зверху заштриховану на рис.10.7 фігуру, а потім помножити її на 8. Користуючись формулою (10.12), одержимо

Площа поверхні

Площа поверхні обертання

Довжина дуги, що обмежує смужку зверху (рис.10.9),

Ця дуга в разі обертання утворить поверхню обертання, площа якої дорівнюватиме бічній поверхні конуса, який має висоту , а радіуси основ його . Тоді площа поверхні цього конуса нескінченно малої висоти

Нескінченно малою вищого порядку нехтуємо і в результаті одержимо звідки

Площа циліндричної поверхні

На рис. 10.10 зображено циліндричну поверхню з твірними, паралельними осі . Нехай ця поверхня задана рівняннями

Виділивши смужку так, як показано на рис. 10.10 , знайдемо її площу

Зауваження 1.

При одержанні формул (10.1) - (10.2), (10.4) - (10.8) виділені елементи фігур вважалися прямокутниками (див. рис. 10.1, 10.4,10.5 ), сектором з центральним кутом ( рис. 10.2), тонким циліндричним шаром (рис. 10.3), що не вплинуло на остаточний результат, бо такі заміни реальних фігур здійснюються нехтуванням нескінченно малих величин вищих порядків. Цей факт можна було б строго довести.

Приклад . Еліпс із великою піввіссю і малою піввіссю робить один оберт навколо великої осі і вдруге - навколо малої осі. Визначити поверхню обертання еліпса в кожному з двох випадків.

Р о з в ' я з о к. Досить розглянути лише половину еліпса:

В результаті обертання навколо великої осі одержимо за (11.7)

де - ексцентриситет еліпса.

За допомогою підстановки матимемо

У випадку обертання навколо малої осі для обчислення поверхні обертання одержуємо інтеграл

В обох випадках поверхня еліпсоїда виразилась через елементарні функції.






При любом использовании материалов сайта обязательна гиперссылка на сайт «Репетитор».
Разработка и Дизайн компании Awelan
bigmir)net TOP 100 Rambler's Top100