Границя функції

Рефераты, курсовые, дипломные, контрольные (предпросмотр)

Тип: Реферат. Файл: Word (.doc) в архиве zip. Язык: Украинский. Категория: Математика
Адрес этого реферата http://referat.repetitor.ua/?essayId=9544 или
Загрузить
В режиме предпросмотра не отображаются таблицы, графики и иллюстрации. Для получения полной версии нажмите кнопку «Загрузить». Рефераты, контрольные, дипломные, курсовые работы предоставляются в ознакомительных целях, не для плагиата.
Страница 1 из 2 [Всего 2 записей]1 2 »

Границя числової послідовності.

У курсі "Алгебра і початки аналізу" вивчають досить важливі властивості функцій, які не можна дослідити елементарними способами. В основі методів, за допомогою яких удається дослідити ці нові властивості, лежить поняття границі функції, одне із фундаментальних понять математики.

З'ясуємо поняття границі на простішому випадку функціональної залежності, коли областю визначення функції у = f (х) є множина натурального ряду чисел N. Таку функцію називають числовою послідовністю і позначають yn = f(n), п = 1, 2, ... .

Числову послідовність ще записують у вигляді ряду чисел y1, 2, ..., ул,…, в якому y1 називають першим членом послідовності, y2 - другим і т. д., yn - n-м, або загальним членом послідовності. Числову послідовність вважають заданою, якщо задано її загальний член.

Для числових послідовностей застосовують ще і таке позначення: (уп) або (ап), де уп, ап - n-ні члени послідовностей.

Прикладами числових послідовностей є арифметична і геометрична прогресії. Тут загальні члени задають такими формулами: уп= y1 + d (п - 1), уп = у1qn-1, п = 1, 2, ..., де d - різниця арифметичної прогресії; q - знаменник геометричної прогресії.

Розглянемо ще приклади числових послідовностей.

Приклад. Розглянемо послідовність, загальний член якої заданий формулою уп = , п = 1, 2, ... .

Дістанемо таку числову послідовність:

(2)

У послідовності (2) члени із зростанням числа п спадають і наближаються до числа нуль. І чим більше число n, тим відповідний член послідовності містиметься ближче до нуля. Іншими словами, відстань |уп - 0| при зростанні n стає як завгодно малою, тобто у послідовності (2) знайдеться член yN такий, що для всіх п N буде справджуватися нерівність

(3)

де - довільне додатне число. Надаючи є довільних додатних значень, щоразу матимемо шукане число N.

Щоб знайти N для будь-якого наперед заданого додатного числа , підставимо в нерівність (3) значення уп і розв'яжемо здобуту нерівність відносно п. Дістанемо:

(4)

Звідси п . Отже, нерівність (3) буде справджуватися для всіх значень п, які задовольняють нерівність (4).

Тому за число N можна взяти число , якщо воно ціле, або найбільшу цілу частину цього числа, якщо це число в дробовим. Проілюструємо сказане за допомогою таблиці.

Таблиця

Дамо означення границі числової послідовності. Число а називається границею послідовності у1, y2, y3,…,уп,..., якщо для будь-якого додатного числа існує таке натуральне число N = N ( ), що для всіх п N виконується нерівність

. (8)

Символічно це записують так:

Ми будемо користуватися першим позначенням (lim - від латинського слова "limes", що означає "границя").

Нескінченно малі числові послідовності

Серед функцій натурального аргументу особливе місце відводиться так званим нескінченно малим послідовностям.

Послідовність уп = f (п), п - 1, 2, ... називається нескінченно малою, якщо уп = 0.

Наприклад, послідовності , є нескінченно малими.

Якщо у нерівності (8) покласти а = 0, то дістанемо нерівність | уп | , п N. Тому нескінченно малу числову послідовність можна означити ще й так.

Числова послідовність (уп) називається нескінченно малою, якщо для будь-якого додатного числа існує натуральне число N таке, що для всіх п N виконується нерівність | уп | .

Нескінченно малі послідовності позначають через (ап), (?п), ( n) і т. д.

Наступні теореми встановлюють тісний зв'язок між послідовністю (уп), яка має границю, і нескінченно малою послідовністю.

Теорема 1. Якщо уп = a, то послідовність (аn) = (yn - a) є нескінченно малою.

Доведення. Яке б не було число 0, знайдеться таке N, що для всіх п N виконуватиметься нерівність | уп - а | , або , тобто - нескінченно мала послідовність.

Справедлива і обернена теорема.

Теорема 2. Якщо різниця між уп і числом а є нескінченно малою послідовністю, то а є границею послідовності (уп).

Доведення. Позначимо ап = уп - а. Тоді уп - а є нескінченно малою послідовністю. Тобто для будь-якого числа 0 знайдеться таке N, що для всіх п N виконується нерівність | ап | , або, що те саме, |уп - а| . Отже, згідно з означенням границі, yn = а. Доведені теореми дають змогу навести ще й таке означення границі послідовності.

Число а називається границею числової послідовності (уп), якщо різниця між уп і числом а є нескінченно малою послідовністю, тобто (уп - а) = ( п), де ( ) - нескінченно мала послідовність.

Нескінченно малі послідовності мають такі властивості.

Властивівть 1. Алгебраїчна сума скінченного числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Перш ніж сформулювати наступну властивість, наведемо таке означення.

Послідовність (уп) називається обмеженою, якщо існує число М 0, що для всіх значень п = 1,2, ... виконується нерівність

| уп | М.

Властивість 2. Добуток нескінченно малої числової послідовності на обмежену послідовність є нескінченно малою числовою послідовністю.

Нескінченно великі числові послідовності

Розглянемо нескінченно великі числові послідовності.

Означення. Послідовність (уп) називається нескінченно великою, якщо, яке б не було число М 0, існує таке число N = N (М), що для всіх п N виконується нерівність | уп | М. Це записують так:

уп при цьому називають нескінченно великою послідовністю. Наприклад, послідовності ((-1)пп), (п2), (п) є нескінченно великі.

Доведемо, наприклад, що ((-1)пп) є нескінченно велика послідовність. Справді, для довільного числа М 0, починаючи з деякого номера п, маємо |уп|=(-1)пп = п М. Члени заданої послідовності необмежене зростають за модулем, набуваючи то додатних, то від'ємних значень. Якщо М1 = 100, то |у|=п100, якщо п = 101, 102, ... .

Отже, .

Слід зауважити, що необмежена числова послідовність може й не бути нескінченно великою. Так, числова послідовність (уп), де

є необмеженою і не є нескінченно великою.

Існує тісний зв'язок між нескінченно малими та нескінченно великими числовими послідовностями. Цей зв'язок встановлюють такі теореми.

Теорема. Якщо (уп)є нескінченно велика числова послідовність, то послідовність ( ) = є нескінченно малою.

Доведення. Оскільки (уп) є нескінченно велика послідовність, то яке б ми не взяли число М 0, існує таке число N, що для всіх п N виконується нерівність | уп | M. Нехай М = , де - довільне додатне число.

Тоді | уп | (n N), або | аn | (n N). Теорему доведено.

Обернена теорема. Якщо послідовність ( ) є нескінченно мала числова послідовність і для всіх n = 1, 2, ..., то послідовність (уп)= = є нескінченно велика.

Доведення. Оскільки за умовою теореми ( ) - нескінченно мала послідовність, то для будь-якого числа 0, наприклад, для = , де М 0 - будь-яке дійсне число, існує натуральне число N = N (М) таке, що для всіх значень п N виконується нерівність | | .

Позначимо уп = . Тоді

Теорема доведена.

Основні теореми про границі

Знаходження границі числової послідовності на основі "тільки означення границі викликає часто певні труднощі, оскільки: треба наперед знати "підозріле" на границю число; не кожного разу за заданим можна знайти N.

Тому на практиці для знаходження границі числових послідовностей користуються такими теоремами.

Теорема 1. Нехай послідовності (хп) і (уп) мають відповідно границі а і b. Тоді послідовність (xn+yn) має границю а + b.

Теорема 2. Нехай послідовності (хп) і (уп) мають відповідно границі а, b. Тоді послідовність (хп o уп) має границю, яка дорівнює а o b, тобто

Теорема 3. Нехай послідовності (хп) і (уп) мають скінченні границі, які відповідно дорівнюють , причому . Тоді послідовність має скінченну границю, яка дорівнює

Теорема 4 (Вейєрштрасса). Зростаюча або спадна обмежена послідовність має границю.

Теорема 5. Якщо послідовність (хп) має границю а, то ця границя єдина.

Приклад 1. Знайти (За означенням п! = , читають "ен факторіал".)

Розв'язання. Використаємо теорему про границю суми. Для цього з'ясуємо, чи існують границі доданків.. Послідовності , є нескінченно малими , тобто Послідовність (sin n2) є обмеженою: | sin n2 | 1. Отже,

RSSСтраница 1 из 2 [Всего 2 записей]1 2 »





При любом использовании материалов сайта обязательна гиперссылка на сайт «Репетитор».
Разработка и Дизайн компании Awelan
bigmir)net TOP 100 Rambler's Top100