Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції. Повний диференціал функції декількох змінних. Рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні. Неявні функції , їх диференціювання

Рефераты, курсовые, дипломные, контрольные (предпросмотр)

Тип: Реферат. Файл: Word (.doc) в архиве zip. Язык: Украинский. Категория: Математика
Адрес этого реферата http://referat.repetitor.ua/?essayId=9517 или
Загрузить
В режиме предпросмотра не отображаются таблицы, графики и иллюстрации. Для получения полной версии нажмите кнопку «Загрузить». Рефераты, контрольные, дипломные, курсовые работы предоставляются в ознакомительных целях, не для плагиата.
Страница 1 из 2 [Всего 2 записей]1 2 »

Диференціал функції

Означення диференційованої функції

Означення. Функція називається диференційованою в точці , якщо її приріст в цій точці можна зобразити в такому вигляді:

(6.48)

де - число, а прямує до нуля, коли приріст прямує до нуля.

Означення. Функція називається диференційованою в точці , якщо її повний приріст в цій точці можна зобразити в такому вигляді:

(6.49) де

- числа; і - нескінченно малі при (при ).

Теорема. Для того щоб функція в точці була диференційованою, необхідно і достатньо, щоб для неї в цій точці існувала скінчена похідна . При виконанні цієї умови рівність (6.48) має місце, коли стала дорівнює саме цій похідній:

(6.50)

Наслідок. Якщо функція в точці має (скінчену) похідну, то в цій точці функція необхідно неперервна.

Дійсно, із (6.50) зрозуміло, що з умови випливає .

Для функції двох змінних умова диференційованості жорстокіша, ніж існування частинних похідних в точці.

Теорема (необхідна умова диференційованості). Функція диференційована в точці , неперервна в цій точці і має в ній частинні похідні за обома змінними.

Теорема (достатня умова диференційованості). Якщо функція має частинні похідні за змінними і якщо ці частинні похідні неперервні в цій самій точці , то функція диференційована в цій точці.

Зауваження. Функція (всякого числа змінних), диференційована в кожній точці деякої області, називається диференційованою в цій області.

Диференціал

Диференціал функції однієї змінної . Зазначимо, що доданки в рівності (6.50) відіграють неоднакову роль. Так, другий додаток при є величина вищого порядку малості, ніж ,

тоді як перший доданок , якщо і , є величина одного порядку малості з . Крім того, другий доданок в рівності (6.50) при і є величина вищого порядку малості, ніж перший,

Отже, перший доданок в рівності (6.50) є головною частиною приросту функції.

Означення. Добуток називається диференціалом функції в точці і позначається символом або ,

(6.51)

Диференціалом аргументу називається його приріст, тобто вважають . Тоді формула для диференціала функції набирає вигляду

або

(6.52)

Користуючись співвідношенням (6.52), складемо таблицю для диференціалів від елементарних функцій:

Властивості диференціала. Якщо і - диференційовані функції, то безпосередньо із визначення диференціала і властивостей похідних маємо такі властивості диференціала:

Геометричний зміст диференціала. Нехай графік диференційованої функції має вигляд, зображений на рис. 6.6 (крива ).

Візьмемо на кривій точки і . У точці проведемо дотичну до кривої . Тоді з трикутника знайдемо довжину відрізка :

або

(6.53)

Рівність (6.53) і характеризує геометричний зміст диференціала: диференціал функції дорівнює приросту ординати дотичної до графіка цієї функції в розглядуваній точці.

Рис.6.6

Механічний зміст диференціала. Припустимо, що матеріальна точка рухається за відомим законом

де - диференційована функція при деякому значенні часу . Тоді функція має диференціал

,або .

Добуток виражає шлях, який точка проходить за час , рухаючись із сталою швидкістю .

Отже, механічне тлумачення диференціала функції таке: диференціал функції виражає той шлях, який точка пройшла б за час , якби вона рухалася прямолінійно і рівномірно зі сталою швидкістю .

Повний диференціал функції двох змінних

Означення повного диференціала. Нехай функція в деякій області неперервна і має частинні похідні та .

Виберемо в цій області довільну точку . Надамо приросту обом аргументам, тобто візьмемо точку

. Для приросту

одержуємо такий вираз:

(6.54)

При і останні два доданки є нескінченно малими вищого порядку, оскільки і . Перших два доданки складають головну частину у виразі повного приросту .

Означення. Головна, лінійна відносно і частина приросту функції називається повним диференціалом функції двох змінних і позначається або :

. (6.55)

(Легко бачити, що це означення приводить до введеного вище поняття диференціала функції однієї змінної, якщо замість розглядати функцію ).

Приклад. Знайти повний диференціал функції .

Р о з в ' я з о к.

В будь-який точці .

Зауваження. Означення повного диференціала легко узагальнюється на випадок диференційованої функції будь-якого числа змінних.

Повним диференціалом функції в даній точці називається головна, лінійна відносно приросту всіх аргументів частина повного приросту функції.

Приклад. .

Р о з в ' я з о к.

В будь-які й точці

.

Означення дотичної площини і нормалі до поверхні. Є кілька еквівалентних між собою означень дотичної площини до поверхні. Ми дамо означення, яке є природним узагальненням означення дотичної (прямої) до кривої (рис. 6.7).

Нехай - точка даної поверхні. Розглянемо на поверхні другу, змінну точку і проведемо січну пряму .

Площина, що проходить через точку , називається дотичною площиною до поверхні в точці , якщо кут між січною і цією площиною прямує до нуля, коли віддаль прямує до нуля, яким би чином точка на поверхні не прямувала б до точки .

Нормаллю до поверхні в точці називається пряма, що проходить через точку перпендикулярно до дотичної площини до поверхні в цій точці.

Рівняння дотичної площини і нормалі. У поверхні, заданої рівнянням , де - функція, диференційована в точці , дотична площина в точці існує і має рівняння

. (6.56)

За рівнянням дотичної площини до поверхні в точці легко записати рівняння нормалі:

. (6.57)

Геометричний зміст повного диференціала. Нехай функція диференційована в точці . Це означає, що поверхня, задана рівнянням , має в точці дотичну площину (рис. 6.8). Її рівняння (6.56),

Рис.6.7 Рис.6.8

поклавши ; , можна записати у вигляді

.

У цьому рівнянні зліва стоїть різниця аплікат точок дотичної площини, відповідних точкам і , а справа - повний диференціал функції в точці .

Отже, повний диференціал функції в точці геометрично означає приріст аплікати дотичної площини до поверхні, яка зображує функцію, в точці при переході із точки в точку .

Інваріантна форма запису диференціала. За означенням, для диференційованої в точці функції двох незалежних змінних

.

Покладемо, зокрема, (тобто ), одержимо Отже, . Аналогічно, поклавши , одержимо . Таким чином, диференціали незалежних змінних співпадають з приростом цих змінних, і ми можемо записати диференціал функції у вигляді

,

або, що те саме,

.

Нехай де і - складні функції незалежних змінних і . Допустимо, що функції і диференційовані в точці , а функція диференційована в точці , де , . Тоді складна функція буде диференційована в точці . При цьому, згідно з (6.58),

.

Застосувавши правила для обчислення частинних похідних

складної функції (формули 6.47), одержимо

Оскільки в дужках стоять повні диференціали функцій , , маємо:

.

Отже, і у випадку, коли та - незалежні змінні, і у випадку, коли та - незалежні змінні, диференціал функції можна записати у формі

.

У зв'язку з цим така форма запису повного диференціала називається інваріантною.

Форма запису повного диференціала

не буде інваріантною, вона може використовуватися лише, якщо і - незалежні змінні, оскільки у противному разі , .

Диференціювання параметрично заданих функцій

Означення. Задання функціональної залежності між і у вигляді двох функцій від тієї самої допоміжної змінної називається параметричним заданням функції. Допоміжна змінна при цьому називається параметром.

RSSСтраница 1 из 2 [Всего 2 записей]1 2 »





При любом использовании материалов сайта обязательна гиперссылка на сайт «Репетитор».
Разработка и Дизайн компании Awelan
bigmir)net TOP 100 Rambler's Top100