Канонічні рівняння кривих другого порядку (коло, еліпс, гіпербола, парабола)

Рефераты, курсовые, дипломные, контрольные (предпросмотр)

Тип: Реферат. Файл: Word (.doc) в архиве zip. Язык: Украинский. Категория: Математика
Адрес этого реферата http://referat.repetitor.ua/?essayId=9548 или
Загрузить
В режиме предпросмотра не отображаются таблицы, графики и иллюстрации. Для получения полной версии нажмите кнопку «Загрузить». Рефераты, контрольные, дипломные, курсовые работы предоставляются в ознакомительных целях, не для плагиата.
Страница 1 из 3 [Всего 3 записей]1 2 3 »

Криві другого порядку на площині

Множині рівнянь, що зв'язують дві змінні у деякій плоскій системі координат, відповідає множина кривих найрізноманітніших форм. Пряма лінія - частинний випадок кривої. Криву можна розглядати як слід переміщення точки. У математиці криву задають аналітично, тобто її рівнянням.

Тут ми розглянемо лише криві другого порядку, тобто їх рівняння є алгебраїчними рівняннями відносно двох змінних, які входять у нього не вище як у другому степені. Отже, в загальному плані крива другого порядку описується рівнянням

, (3.36)

де - деякі коефіцієнти.

Найпоширеніші з кривих другого порядку - еліпс і його частинний випадок - коло, гіпербола і парабола. Про еліпс згадується ще у середній школі у зв'язку з вивченням закону всесвітнього тяжіння і рухом планет навколо Сонця та рухом штучних супутників навколо Землі. Спостерігаючи за рухом планет навколо Сонця, Кеплер склав таблиці, що описували їх положення на небесній сфері і підтверджували той факт, що всі планети рухаються навколо Сонця по еліпсах. Французький вчений Левер'є, аналізуючи таблиці Кеплера, прийшов до висновку, що в русі останньої на той час планети Уран спостерігаються значні відхилення від еліптичної траєкторії. Він робить припущення, що причиною цих відхилень є невідома на той час планета, яка знаходиться далі від Сонця, ніж Уран. Після тривалих і складних обчислень він знаходить координати нової планети. Тому про нову планету (її потім було названо Нептуном) кажуть, що вона була відкрита "на кінчику олівця".

З еліпсом доводиться мати справу і в техніці: еліптичний циркуль для креслення еліпса і на його зворотній дії побудовано патрон Леонардо да Вінчі для верстатів, за допомогою яких обробляються деталі з перерізом еліптичної форми. У конструкціях ряду верстатів застосовуються зубчасті еліптичні передачі (рис.3.16).

Загальновідомо також, що від прожектора світлові промені йдуть паралельним пучком, а їх дзеркала параболічні, тобто будь-який їх осьовий переріз є параболою. І навпаки, лінза з осьовим параболічним перерізом збирає паралельні промені в одну точку. На цій основі можна за допомогою такої лінзи одержувати в її фокусі високі температури.

Рис.3.16

Еліпс

Нехай у рівнянні (3.40) дорівнюють нулю, коефіцієнти і мають однаковий знак, протилежний знаку . Тоді рівняння кривої матиме вигляд ,

.

Оскільки і , то можна покласти , . Тоді рівняння набере вигляду

. (3.37)

Крива, що описується цим рівнянням, називається еліпсом. При заміні на і на рівняння не змінюється, тому крива (3.37) є центрально-симетричною фігурою, тобто її центром є початок координат .

При матимемо , а при . Виразимо з (3.37)

Виразимо з (3.37) через . Тоді для першої чверті матимемо

. (3.38)

Очевидно, що , тобто .

Це означає, враховуючи центральну симетричність кривої (3.37), що еліпс розміщений між двома прямими і . Аналогічно можна показати, що еліпс (3.37) розміщений і між прямими і . Отже, еліпс розміщений всередині прямокутника, визначеного вказаними чотирма прямими. З центральної симетричності еліпса і попередніх міркувань випливає, що еліпс дотикається до сторін вказаного прямокутника в точках з координатами: .

Ці точки називаються вершинами еліпса, а відрізки і - його осями. Початок координат - точка є центром еліпса. Відрізки і - його осями. Початок координат - точка є центром еліпса. Відрізки і - осі еліпса, а їх половини - півосі. При цьому вісь осі називатимемо великою віссю еліпса, а вісь осі - малою.

Розглянемо на осі дві точки і , а на кривій довільну точку . Нехай сума дорівнює деякому числу , тобто

Після звільнення у цій рівності від ірраціональностей (пропонується читачеві виконати це самостійно), одержимо

.

Щоб ця рівність збігалася з (3.41), треба прийняти і

. Отже, . Звідси випливає, що на осі всередині прямокутника існують дві точки і ,

що сума їх віддалей від довільної точки еліпса дорівнює - великій осі еліпса.

З цих міркувань одержуємо таке означення: еліпсом називається множина точок площини, сума віддалей яких від двох даних точок (фокусів) є величина стала і дорівнює .

З формули (3.38) очевидно, що при збільшенні від до величина зменшується від до

Оскільки друга похідна функції (3.42) по від'ємна то у першій чверті крива опукла.

Враховуючи крім того центральну симетричність еліпса, тепер можна здійснити його схематичну побудову (рис.3.17).

Рис.3.17

Точну побудову еліпса можна здійснити так: у точках і прикріплюється нитка певної довжини. Якщо її натягнути, потім, тримаючи нитку натягнутою, олівцем описати замкнену криву, то вона і буде згідно з означенням еліпсом.

Еліпс одержується механічно шляхом обертання гнучкого круга кільцевої форми (рис.3.18).

Слід зауважити, що звичайним циркулем еліпс побудувати неможливо, бо будь-якої довжини дуга не може збігатися з будь-якою частиною еліпса. Фігура, подібна за формою до еліпса і побудована за допомогою циркуля, не еліпс, а овал.

Ексцентриситетом еліпса називається відношення віддалі

між фокусами еліпса до довжини великої осі: .

Рис. 3.18

Оскільки то . Для кола . Тому ексцентриситет кола дорівнює нулю.

Позначимо Величини назвемо фокальними радіусами. З означення еліпса маємо Легко встановити, що З останніх двох рівнянь одержимо

. (3.39)

На рис. 3.19 зображено еліпс і прямі , довільна точка , її віддаль від прямої . Розглянемо відношення Якщо то Те саме можна виконати і з прямою . Отже, одержимо дві прямі . Ці дві прямі називаються директрисами еліпса. Із сказаного приходимо до такого висновку: відношення віддалей будь-якої точки еліпса до фокуса і відповідної директриси є величина стала, що дорівнює ексцентриситету еліпса.

Якщо ексцентриситет еліпса зменшується, то директриса еліпса віддаляються від нього, сам еліпс стає все більш опуклим і у граничному випадку, коли він стає рівним нулю, директриси віддаляються на нескінченність. Це означає, що коло не має директрис. При збільшенні ексцентриситету еліпс стає все більше розтягнутим, а директриси при цьому стають все ближчими до еліпса.

Рис. 3.19

Нехай потрібно знайти дотичну до еліпса у точці , що належить еліпсу. Розглянемо довільну пряму , що проходить через точку . У рівняння еліпса замість підставимо і розв'яжемо квадратне рівняння

В результаті одержимо квадратне рівняння відносно . Щоб одержане рівняння мало лише один розв'язок, тобто щоб вказана пряма була дотичною до еліпса у точці , необхідно і достатньо, щоб дискримінант квадратного рівняння відносно дорівнював нулю. З цієї умови знайдемо . Після цього вже легко записати рівняння дотичної. Читачеві пропонується довести вказаним способом, що рівняння дотичної матиме вигляд

Цю ж задачу можна розв'язати і за допомогою похідної.

Приклад. Написати рівняння дотичної, що проходить через точку , до еліпса

Р о з в ' я з о к. Нехай рівняння дотичної має вигляд

Тоді, підставивши у рівняння еліпса, одержимо:

.

Після спрощення, це рівняння матиме вигляд

.

Щоб пряма була дотичною до еліпса, треба, щоб попереднє рівняння мало лише один розв'язок. Це буде тоді, коли його дискримінант дорівнює нулю, тобто

.

Після скорочення на 4 матимемо

У результаті спрощень приходимо до рівняння

RSSСтраница 1 из 3 [Всего 3 записей]1 2 3 »





При любом использовании материалов сайта обязательна гиперссылка на сайт «Репетитор».
Разработка и Дизайн компании Awelan
bigmir)net TOP 100 Rambler's Top100