Степеневі ряди. Теорема Абеля. Область збіжності степеневого ряду

Рефераты, курсовые, дипломные, контрольные (предпросмотр)

Тип: Реферат. Файл: Word (.doc) в архиве zip. Язык: Украинский. Категория: Статистика
Адрес этого реферата http://referat.repetitor.ua/?essayId=9678 или
Загрузить
В режиме предпросмотра не отображаются таблицы, графики и иллюстрации. Для получения полной версии нажмите кнопку «Загрузить». Рефераты, контрольные, дипломные, курсовые работы предоставляются в ознакомительных целях, не для плагиата.

Розвинення в степеневі ряди функцій, ex, sinx,cosx

Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа для функції f(x)=ex має вигляд

Нехай R- довільне фіксоване додатне число. Якщо x є (-R; R), то

Позначивши через , матимемо

За ознакою Д'Аламбера ряд а1+а2+…an+… збіжний, тому . Звідси дістанемо

для всіх x є (-R;R). Оскільки число R було взято довільно, рівність правильна для всіх Х є

За теоремою Д'Аламбера функція f(x)=ex в інтервалі , який розвивається в степеневий ряд, який для цієї функції має вигляд.

. Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа для функції f(x)=sinx має вигляд

Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа легко оцінюється зверху:

, Вище було показано, що для всіх R0. Тому для всіх х є правильною є рівність

Звідси дістанемо

для всіх х є .

Функція f(x)=sin x в інтервалі розвивається в степеневий ряд, який для цієї функції має вигляд

. Аналогічно можна діяти при розвиненні в степеневий ряд функції f(x)=cosx.Однак простіше скористатись теоремою, згідно з якою степеневий ряд в інтервалі збіжності можна диференціювати почленно. Про диференціювавши почленно попередній ряд, матимемо Розвинення в степеневий ряд функції ln(1+x). Правильною є рівність

(геометрична прогресія із знаменником, що дорівнює -x).Попередній степеневий ряд можна почленно інтегрувати на проміжку з кінцями 0 та x,де -1 x 1.Виконавши це дістанемо

Оскільки

На підставі двох останніх рівностей знаходимо

Розвинення в степеневий ряд функції arсtg x.Знаючи, що для х є

(-1;1) правильною є рівність .

(чому це так?),по членним інтегруванням її дістанемо

Оскільки,

остаточно маємо

Приклади

1. Розвинути функцію у степеневий ряд в околиці точки х0=2.

Виконаємо над заданою функцією тотожні перетворення, такі, щоб під знаком функції одержати вираз (х-2)

Тепер скористаємось формулою (10), ф яку замість х підставимо Тоді

Записаний ряд збігається до заданої функції при , тобто при

Таким чином,

Розвинути в ряд Макларена функцію

Маємо таке розвинення

Підставивши сюди замість х змінну -х, дістанемо

Віднявши від першої рівності другу, знайдемо

Контрольні запитання

1. Яке розвинення в степеневий ряд функції ex.

2. Яке розвинення в степеневий ряд функції sin x.

3. Яке розвинення в степеневий ряд функції cos x.

4. Яке розвинення в степеневий ряд функції ln(1+x).

5. Яке розвинення в степеневий ряд функції arctg x

Література

1. Соколенко О.І. Вища математика: Підручник. - К.: Видавничий центр "Академія", 2002. - 432с.






При любом использовании материалов сайта обязательна гиперссылка на сайт «Репетитор».
Разработка и Дизайн компании Awelan
bigmir)net TOP 100 Rambler's Top100